Notre idée dans un premier temps est de modéliser la matrice de transfert par une diffusion homogène dans tous les points de l’image, c’est-à-dire que l’on va considérer qu’en tous points de l’image la plaque diffuse de la même façon. Puis, nous modifions la matrice de transfert pour prendre en compte les inhomogénéités par le calcul du δ (qui est la quantification des écarts) afin de s’approcher le plus possible de la matrice de transfert parfaite. Ce que nous réalisons là est un découplage.
Nous avons pris l'image N du pixel qui se trouve au coordonnées (25,25) de l'image 50x50. Cette image est un noyau de par exemple 9x9 pixels.
Nous transformons cette image en un vecteur de 2500x1 (une colonne dans laquelle il y a des 0 puis les 81 valeurs du noyau en 9x9, puis des 0), puis nous le plaçons dans une matrice vide de 2500x2500. Ensuite, nous le translatons (application aux autres colonnes de la matrice vide), pour créer les vecteurs correspondant aux autres pixels et ainsi retrouver une matrice de transfert ayant l’allure de notre matrice de transfert expérimentale.
Le δ est ensuite calculé comme précédemment, et nous obtenons une matrice de transfert Tp qui nous permet de calculer une image solution X (qui est l’image à afficher devant la plaque).
Nous avons réalisé l’expérience avec la solution obtenue et nous observons que les résultats sont, pour une diffusion moyenne, aussi bons que les précédents !
Donc nous pouvons conclure que δ contient l'essentiel de l'information relative à l'inhomogénéité spatiale de la diffusion et que le reste du processus peut être modélisé par une diffusion homogène.
Et c’est une bonne nouvelle ! Ce résultat nous a permis d'envisager une compression de l'information pour obtenir un traitement plus efficace en termes de temps ! En effet, le fait de mettre le noyau dans un vecteur et de translater sur toute la matrice va plus vite que de prendre chacune des 2500 images et de les mettre sous forme de vecteur avant de les concaténer.
Voici le détail mathématique de la procédure de traitement rapide :
Soit Thomogène la matrice de transfert créée à partir de l'image de diffusion d'un seul pixel N.
Nous avons T homogène. δ × X= A , ou : T homogène × X= A / δ où la barre de fraction correspond à une division terme à terme.
Thomogène × X n'est rien d'autre qu'une convolution de X par l'image de diffusion d'un seul pixel N.
Alors on a : Thomogène × X = N∗ X où * est le produit de convolution.
Ainsi notre solution peut se calculer comme : X = N∗− 1( A/δ ) où *-1 est l'opérateur de déconvolution.
Nous avons cherché différentes tailles pour le noyau et nous avons vérifié expérimentalement. Voici les résultats pour un noyau de convolution 9x9 :
Ils restent visiblement toujours aussi satisfaisants !
Le temps de calcul pour déterminer X avec le principe de convolution n’a été de 0,009 secondes, alors qu'avec la méthode d'optimisation, le temps était de 256 secondes.
